पटल, कपड़े और गणना की गोटियाँ
गणना के लिए पटल, चिह्नित मेज़ या कपड़ा इस्तेमाल हो सकता था। रेखाएँ या खाली स्थान गोटियों के मान तय करते थे। विशेष गणना गोटियों को अक्सर जेटॉन कहा जाता है; जर्मन उदाहरण रेखेनफेनिगे भी कहलाते हैं। सिक्कों जैसी दिखने पर भी ये गोटियाँ अंकगणित के उपकरण थीं।
यह अंतर महत्वपूर्ण है। व्यापारी सस्ती गोटियों से बड़ी राशि की गणना कर सकता था क्योंकि उनकी स्थिति राशि दिखाती थी। हर गोटी का कीमती सिक्का होना आवश्यक नहीं था। सतह और उसके नियम संख्यात्मक अर्थ देते थे।
व्यापारी हिसाब कैसे लगा सकता था
व्यावहारिक गणना के कई चरण होते हैं: मात्राएँ पहचानना, शुरुआती राशि रखना, गोटियाँ जोड़ना या हटाना, व्यवस्था सरल करना और परिणाम लिखना। दूसरा व्यक्ति व्यवस्था देखकर या गणना दोहराकर जाँच सकता था। पटल गणना की प्रक्रिया में सहायक था, जबकि लिखित हिसाब परिणाम सुरक्षित रखता था।
सरल दशमलव शिक्षण उदाहरण के लिए 24 और 18 जोड़ें। दो दहाइयाँ और चार इकाइयाँ, एक दहाई और आठ इकाइयों से मिलती हैं। बारह इकाइयाँ एक दहाई और दो इकाइयाँ बनती हैं; कुल चार दहाइयाँ और दो इकाइयाँ, यानी 42। यह वही गणितीय विचार है जो लिखित जोड़ में हासिल लेने का है।
यह उदाहरण जानबूझकर आधुनिक और दशमलव है। वास्तविक हिसाब में कई मुद्राएँ या उपविभाग हो सकते थे, इसलिए सही आदान-प्रदान नियम इस्तेमाल की इकाइयों पर निर्भर थे। सामान्य आरेख से मध्यकालीन व्यापारी की पूरी विधि नहीं निकाली जा सकती।
मुद्रा बदलने का उदाहरण
ऐतिहासिक अंग्रेज़ मुद्रा संबंध 12 पेंस = 1 शिलिंग के अनुसार 8 पेंस + 7 पेंस, 1 शिलिंग और 3 पेंस बनते हैं। आदान-प्रदान का गुणक मुद्रा से आता है, गोटियों की संख्या से नहीं।
गणना पटल व्यापार के अनुकूल क्यों थे
हिसाब में अक्सर बार-बार जोड़ना, भुगतान घटाना और अलग-अलग इकाइयों में दी गई मात्राएँ होती हैं। चलने वाली गोटियों की व्यवस्था में हर बीच की पंक्ति दोबारा लिखे बिना बदलाव किया जा सकता है। इसलिए पटल स्थायी रिकॉर्ड के बजाय गणना का उपयोगी कार्यस्थल होता है।
गोटियाँ चलाने से मानों का आदान-प्रदान भी दिखाई देता है। एक स्थान से समूह हटाकर दूसरे पर गोटी रखने से इकाइयों के बीच संबंध दिखता है। सटीकता फिर भी उपयोगकर्ता पर निर्भर है: गलत स्थान पर गोटी रखने या गलत रूपांतरण से कुल बदल सकता है।
ऐतिहासिक उदाहरण क्या दिखाते हैं
ब्रिटिश संग्रहालय में 1307–1327 की एक अंग्रेज़ पीतल की गणना गोटी है। यह इस वस्तु प्रकार का ठोस मध्यकालीन उदाहरण है। उसकी तिथि उस खास गोटी का प्रमाण है, गोटियों से गणना के पहले आविष्कार का नहीं।
ब्रिटिश संग्रहालय की रेखेनमाइस्टर प्रकार की एक अलग गोटी पर पटल या मेज़ पर गोटियों का उपयोग दिखाया गया है। ऐसी छवियाँ वस्तु का उद्देश्य समझने में मदद करती हैं। बाद में नूर्नबर्ग में हुआ निर्माण भी इसी इतिहास का भाग है, लेकिन आरंभिक आधुनिक काल के सभी उदाहरणों को मध्यकालीन नहीं कहना चाहिए।
रेखेनमाइस्टर वस्तु संग्रह में 1936,0412.1 के रूप में दर्ज है। यह पंजीकरण संख्या संग्रहालय रिकॉर्ड पहचानती है; इसका दावा नहीं कि गोटी 1936 में बनी। संग्रहालय रिकॉर्ड और छवि वस्तु की सामग्री व उद्देश्य जानने में मदद कर सकते हैं, बिना संग्रह संख्या को ऐतिहासिक तिथि बनाए।
गोटियों से लिखित अंकगणित तक
लिखित अंकगणित और गोटियों से गणना साथ चलते थे। हिंदू-अरबी अंकों की विधियाँ फैलने पर व्यक्ति कागज़ पर गणना सीख सकता था और परिचित गणना अभ्यास भी जारी रह सकते थे। ऐसा कोई एक दिन नहीं था जब यूरोप के सभी व्यापारियों ने अपने पटल छोड़ दिए हों।
गणना पटल और लिखित विधि एक जैसी समस्याएँ अलग कार्यस्थलों पर हल करते हैं। पटल पर स्थिति मान तय करती है; कागज़ पर लिखे अंक और उनके स्थान चरणों को सुरक्षित रखते हैं। दोनों विधियों को समझने से यह बदलाव स्पष्ट होता है, बिना यह माने कि पुराने उपयोगकर्ता जटिल गणना करने में असमर्थ थे।
अबेकस के रोचक तथ्य
- जेटॉन सिक्के जैसा दिख सकता था, फिर भी मुद्रा के रूप में इस्तेमाल नहीं होता था।
- एक ही गोटी अलग स्थानों पर अलग मान दर्शा सकती थी।
- लकड़ी के पटल की तरह कपड़ा भी गणना की सतह बन सकता था।
- व्यवस्था मिटाने से पहले गणना पटल का परिणाम लिख लेना आवश्यक था।
स्रोत और आगे पढ़ें
इस लेख के ऐतिहासिक दावे निम्न संग्रहालय रिकॉर्ड और शोध पर आधारित हैं। बची वस्तुओं की तिथियाँ आविष्कार की तिथियों से अलग बताई गई हैं।
- ब्रिटिश संग्रहालय · Google Arts & Cultureपीतल की गणना गोटी, रेखेनमाइस्टर प्रकार (1936,0412.1)
- ब्रिटिश संग्रहालयअंग्रेज़ी पीतल का गणना टोकन, 1307–1327 (S.6)
- ब्रिटिश रॉयल मिंट संग्रहालयपाउंड, शिलिंग और पेंस